まず、等比数列とはある足し算（引き算も含む）の式が一定の並びになっているものです。一番目の項（これを初項という。）に、ある一定の数値（これを公比という。）を乗じると二番目の項になる。さらに、二番目の項に公比を乗じると三番目の項になるという足し算です。以下同様に前の項に公比を乗じるとその項になり、どこまで続くかにより、無限等比数列または有限等比数列がある。足し算は以下の並びです。
一番目の項＋二番目の項＋三番目の項＋・・・＋Ｎ番目の項・・・①
通常は、初項Ａ、公比Ｒとします。
先に実際の数値で表します。初項１、公比５、項数５とします。
Ｚ＝１＋５＋２５＋１２５＋６２５・・・②
これが規則的な並びの足し算です。初項１に公比５を乗じると第二項の５、第二項５に公比５を乗じると第三項の２５、第三項２５に公比５を乗じると第四項の１２５、第四項１２５に公比５を乗じると第五項の６２５です。
これを前述の、「初項Ａ，公比Ｒ」の一般形で表すと（項数５）、
Ｚ＝Ａ＋ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴・・・③
各項の計算を理解してください。上記数値例では、第五項は初項１に公比５を４回乗じて６２５となります。１×５⁴＝６２５です。第二項、第三項、第四項は初項１に、公比をそれぞれ一回、二回、三回乗じています。等比数列であれば、③式になります。
次に、求める等比数列の和を、③式のようにＺ＝～とします。
ここからは一種の計算テクニックです。Ｚを③式より簡単に表します。③式の両辺にＲを乗じます。
左辺は、Ｚ×Ｒ＝ＲＺ、右辺は全体にＲを乗じるので、
右辺は、Ｒ×（Ａ＋ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴）
右辺は中学生でやった「かっこ」をはずす計算をします（分配法則）。
右辺は、Ｒ×Ａ＋Ｒ×ＡＲ＋Ｒ×ＡＲ²＋Ｒ×ＡＲ³＋Ｒ×ＡＲ⁴
＝ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴＋ＡＲ⁵
よって、
ＲＺ＝ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴＋ＡＲ⁵・・・④
④式の右辺は③式の右辺と並び方が似ています。ここがポイントです。
③式と④式を縦に並べます。④式から③式を引き算します。
ＲＺ＝ ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴＋ＡＲ⁵・・・④
Ｚ＝Ａ＋ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴ ・・・③
（Ｒ－１）Ｚ＝－Ａ ＋ＡＲ⁵ ・・・⑤
そもそも④式を③式にＲを乗じて導出したのは、③式と並びが似ている式をつくるためです。⑤式の両辺を（Ｒ－１）で除して、分子のＡをかっこの外に外して式を整理します。
Ｚ＝（－Ａ＋ＡＲ⁵）／（Ｒ－１）
Ｚ＝Ａ（Ｒ⁵－１）／（Ｒ－１）・・・（有限等比数列の和）⑥
ちなみに、③式に１／Ｒを乗じても③式の類似式ができます。これが一般の等比数列の和の計算です。
また、無限等比数列の場合は終わりの項は③式と④式は同じになります。上記同様に④式から③式を引き算して両辺を（Ｒ－１）で除して、式を整理します。
ＲＺ＝ ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴＋ＡＲ⁵＋・・・ ・・・④
Ｚ＝Ａ＋ＡＲ＋ＡＲ²＋ＡＲ³＋ＡＲ⁴＋ＡＲ⁵＋・・・ ・・・③
（Ｒ－１）Ｚ＝－Ａ
Ｚ＝（－Ａ）／（Ｒ－１）
Ｚ＝Ａ／（１－Ｒ）・・・（無限等比数列の和）⑦
⑥式と⑦式の計算ですべての係数の計算が可能です。
それでは本題に入ります。複利年金現価率の計算です。
利回りｒ、年数ｎ（５）年とします。求める複利現価の総和は、
Ｚ＝１／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²＋１／（１＋ｒ）³＋１／（１＋ｒ）⁴
＋１／（１＋ｒ）⁵・・・⑧
⑧式は初項１／（１＋ｒ）、公比１／（１＋ｒ）の等比数列の和です。④式をつくるのと同様に⑧式と類似の式をつくります。ここでは公比は分子が１の分数なので、⑧式に（１／公比）を乗じた式を用意します（⑧式に公比を乗じた式でも計算可能です。）。
⑧式の両辺に（１＋ｒ）を乗じた式を用意します。
（１＋ｒ）Ｚ＝（１＋ｒ）｛１／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²
＋１／（１＋ｒ）³＋１／（１＋ｒ）⁴＋１／（１＋ｒ）⁵｝
分配法則で中かっこを外します。
（１＋ｒ）Ｚ＝１＋１／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²＋１／（１＋ｒ）³
＋１／（１＋ｒ）⁴・・・⑨
Ｚ＝ １／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²＋１／（１＋ｒ）³
＋１／（１＋ｒ）⁴＋１／（１＋ｒ）⁵・・・⑧
⑨式－⑧式より、
ｒＺ＝１－１／（１＋ｒ）⁵
ここから式を整理します。右辺を通分します。
ｒＺ＝｛（１＋ｒ）⁵－１｝／（１＋ｒ）⁵
両辺をｒで除して、
Ｚ＝｛（１＋ｒ）⁵－１｝／｛ｒ（１＋ｒ）⁵｝・・・⑩
ちなみに、一般形は⑩式の「５乗」を「ｎ乗」と書き換えます。
この式は、純収益を１としたときの純収益の現在価値の総和です。仮に純収益が１００万円であれば、、Ｚ×１００万円で純収益の現在価値の総和が算定されます。
また、⑧式・⑨式が永続する式とすると、⑨式から⑧式を引き算した式は、
（１＋ｒ）Ｚ＝１＋１／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²＋１／（１＋ｒ）³
＋１／（１＋ｒ）⁴＋１／（１＋ｒ）⁵＋・・・ ・・・⑨
Ｚ＝ １／（１＋ｒ）＋１／（１＋ｒ）²＋１／（１＋ｒ）³
＋１／（１＋ｒ）⁴＋１／（１＋ｒ）⁵＋・・・ ・・・⑧
ｒＺ＝１
となり、 Ｚ＝１／ｒ
です。これも純収益が１のときのその現在価値の総和です。仮に純収益がａとすると、その現在価値の総和は、Ｚ×ａとなりａＺ＝ａ／ｒです。右辺ａ／ｒはご承知の永久還元法です。
不動産鑑定評価における経済数学は、主として収益還元法及び借地権の賃料差額還元法で使用されます。これらは利息計算・割引計算の組み合わせであり、計算方法自体は高校数学の無限（有限）等比数列の和です。計算方法はワンパターンで、マスターすると忘れないものです。
先に考え方をマスターしてから、計算方法を実践してください。